Большаков начинал заниматься футболом в Луганске. В 2015 году с семьей переехал в Тулу, тренировался в ДЮСШ «Арсенал». Свой первый профессиональный контракт Кирилл подписал в 2020 году со «СКА-Хабаровск». За армейцев провел 29 матчей и забил 2 мяча.
В прошлом году Кирилл заключил контракт с «Химками», но сыграть за подмосковный клуб в РПЛ ему не удалось. Первую половину прошлого сезона ФНЛ он выступал за «Олимп-Долгопрудный», вторую — за «Кубань». В 35 матчах первенства забил 8 мячей.
